О пользе нестандартного подхода.
Повсеместное внедрение ЕГЭ, конечно упрощает жизнь ученикам и преподавателям, и, возможно помогает более объективно принимать в ВУЗы, но отучает мыслить нестандартно. Для примера приведу пару задачек:
1. Есть положительное число А, его нужно разбить на два слагаемых А=В+С, чтобы их произведение было максимальным, ВхС=max.
Как эту задачу решить традиционным способом? Составить уравнение функции, исследовать на максимум с помощью производной... Тоска, но решить можно довольно быстро. А если надо разбить число на
три слагаемых? Уже намного сложнее, несколько листов бумаги изведёте
.
Нужен какой-то другой способ, и действительно, эту задачу можно решить вообще без вычислений: Понятно, что ВхС=СхВ, т.е. наши сомножители совершенно равноправны, не лучше и не хуже друг друга, и единственный вариант, удовлетворяющий этому условию В=С. Аналогично для трёх или N сомножителей.
2. Какое геометрическое тело некоторого фиксированного объёма V имеет минимальную площадь поверхности? Интуитивно понятно, что это шар, но как доказать? Взять многогранник, устремить к бесконечности количество граней... Путь не безнадёжный, но очень громозкий. А можно взять оси координат XYZ, начало поместить в условный центр тела и немного порассуждать: от выбора осей, их поворота решение не должно зависить, т.к. свойства пространства во всех направлениях одинаковы (пространство изотропно), т.е. расстояние от условного центра тела до любой точки его поверхности = const=R, любое другое условие означало бы анизотропию (зависимость от направления). Вот так просто и непринуждённо мы получили уравнение сферы в сферических же координатах
.
3. А теперь предлагаю тоже очень простым, но нетрадиционным способом доказать, что медианы в произвольном треугольнике пересекаются в одной точке, и делятся на отрезки в отношении 1/3 и 2/3.
Или предложить идею такого подхода.
Или рассказать о тупиковых попытках.